sin x や e^x のような初等関数は基本的な微分方程式を満たしますが、熱分布や量子状態など多くの物理現象は「閉形式」の解を持たない方程式によって支配されています。このスライドでは、テイラー級数が未知の解を無限のべき級数として表現するための根本的な橋渡しとなることを紹介します。
解が 解析的 ある点で解析的であると仮定することで、微分方程式を解くという問題を、数値係数の順列を決定する問題に変換できます。
1. 解析性の基礎
x = x₀ の周りに半径 ρ > 0 の収束半径を持つテイラー級数展開を持つ関数 f は 解析的 x = x₀ において解析的であるといいます。この性質は常微分方程式に対する級数解を求めるための前提条件です。もし私たちの微分方程式の係数関数が x₀ で解析的であれば、解 y(x) も同様にその点で解析的であることが保証されます。
2. テイラー級数の表現
関数 f について、$x = x_0$ の周りのテイラー級数とは、$\displaystyle f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n$ と表される級数です。ここで、係数は次の式で定義されます：
$$\displaystyle a_n = \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}$$
これは関数の全体的な振る舞いを、単一の点における局所的な導関数に結びつけます。
3. 収束性と有効性
べき級数解は、その 収束半径の範囲内で意味を持ちます。例えば、指数関数 $\displaystyle e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$ はすべての $x$ で収束します（ρ = ∞）が、微分方程式から得られる他の級数は、展開点 $x_0$ からの特定の距離以内でのみ収束する場合があります。この距離は通常、方程式の 特異点 （方程式の係数が破綻する点）によって決まります。
初期条件 $y(0)=1$ を持つ微分方程式 $y' = y$ を考えます。解を予想する代わりに、べき級数形を仮定します：
$$y(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n = a_0 + a_1x + a_2x^2 + \dots$$
微分すると $y'(x) = \sum_{n=1}^{\infty} n a_n x^{n-1}$ となります。これを $y'=y$ に代入して：
$$\sum_{n=1}^{\infty} n a_n x^{n-1} = \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$$
インデックスを揃えると、$(n+1)a_{n+1} = a_n$ が得られ、これより $\displaystyle a_n = \frac{a_0}{n!}$ となります。$y(0)=1$ より $a_0=1$ なので、結果は $e^x$ のテイラー級数になります。